有限元法簡單地說，就是將離散的有限個單元來代替整體的結構，單元的特性由有限個結點上的未知參數來表征，從而實現整體分析部分化、單元化。使用合適的方式，組合包含未知參數的代數方程，這些方程包含各個單元的關系式子組成，利用插值函數，通過所構建的平衡方程組求得節點未知參數，求得插值函數的近似解。以一個單向受拉桿為例，來介紹有限元的計算思想。
如圖1所示，拉桿一端固定，另一端受外力P=10kN，拉桿長度L=400mm，橫截面積A=100mm2，材料為Q235，，計算軸向變形。
圖1
根據材料力學胡克定律：
即得圖1拉桿右端的位移。將公式1進行簡單的移項可改寫為公式2
EA/L項即為單元剛度k。
下面開始推導有限元一維桿單元線性靜力學典型方程，將圖1軸向受拉桿劃分成一個桿單元，一個桿單元分左右i、j兩個節點，每個節點有一個自由度，即沿X方向的平動自由度。
圖2
由圖2可知，桿左右兩側均受拉力作用，左側Pi和右側Pj的內力由公式2推導如下：
將公式（3）寫成矩陣形式
在公式4中有ui和uj兩個未知量，若1個節點有1個廣義未知量，1個一維桿單元包含兩個節點，則1個單元共有兩個廣義位移未知量，最終構成的矩陣為2X2的方陣。
公式4可簡寫成公式5
式中，
公式5即為有限元線性靜力學的典型方程。
公式4僅為1個單元的靜力平衡方程，若將圖1的軸向受力構件劃分成兩個單元，則需要將兩個單元平衡方程進行組裝。下面就以圖1的構件為例，將其劃分成兩個單元，計算其右側的軸向位移。
單元劃分如圖3，左側定義為1號單元，右側定義為2號單元，共有 3個節點，3個未知位移，故最終構成的矩陣應該是3X3的方陣。
圖3
1號單元的靜力平衡方程如公式7：
在組裝矩陣之前，需要擴充公式6和公式7，擴充矩陣的目的是將3個節點的位移全部納入到總剛矩陣中便于后面矩陣疊加，擴充后的公式6和公式7如下：
下面將擴充后的公式6和公式7合并、組裝，如公式9：
公式9中剛度矩陣K的行列式為0，無法求解圖1中桿的位移，因此在使用有限元軟件進行靜力學分析時，由于結構約束不足，會給出報錯提示。
若讓式9有解，需要對式9加入邊界條件，本例的邊界條件是左側i節點的軸向位移為0，即是已知的，故將式9的第一行和第一列從矩陣中去除，式9變成式10，如下式：
將其它已知條件（彈性模量、桿長、桿截面積及右側集中力）帶入式10：
將公式10從矩陣形式改成線性方程組的形式：
求解公式11，得
由結果可知，有限元方法求出的基本結果是位移，應變，應力場是基于位移基本解迭代出來的。
作者 李文文 高級工程師
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